Introdução ao Pacote atensor (Manual do Maxima)

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### 29.1 Introdução ao Pacote atensor

`atensor` é um pacote de manipulção de tensores algébricos. Para usar `atensor`, digite `load(atensor)`, seguido por uma chamada à função `init_atensor`.

A essência de `atensor` é um conjunto de regras de simplificação para o operador de produto (ponto) não comutativo ("`.`"). `atensor` reconhece muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são ativadas quando a função `init_atensor` é chamada.

A compatibilidade de `atensor` pode ser demonstrada pela definição da álgebra de quatérnios como uma álgera-Clifford Cl(0,2) com dois vetores fundamentais. As três unidades quaterniônicas imaginárias fundamentais são então os dois vetores base e seu produto, i.e.:

        i = v     j = v     k = v  .  v
             1         2         1    2

Embora o pacote `atensor` tenha uma definição interna para a álgebra dos quatérnios, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quatérnios como uma matriz:

    (%i1) load(atensor);
    (%o1)       /share/tensor/atensor.mac
    (%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
    (%o2)                                done
    (%i3) atensimp(v[1].v[1]);
    (%o3)                                 - 1
    (%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
    (%o4)                                 - 1
    (%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                    [ 0  0  0  0 ]
                                    [            ]
                                    [ 0  0  0  0 ]
    (%o5)                           [            ]
                                    [ 0  0  0  0 ]
                                    [            ]
                                    [ 0  0  0  0 ]
    (%i6) q[1,1]:1;
    (%o6)                                  1
    (%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
    (%o7)                                done
    (%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
    (%o8)                               v  .  v
                                         1    2
    (%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
          q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
    (%o9)                                done
    (%i10) q;
                       [    1        v         v      v  .  v  ]
                       [              1         2      1    2 ]
                       [                                      ]
                       [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                       [    1                 1    2      2   ]
    (%o10)             [                                      ]
                       [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                       [    2        1    2              1    ]
                       [                                      ]
                       [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                       [  1    2      2          1            ]

`atensor` reconhece como bases vetoriais símbolos indexados, onde o símbolo é aquele armazenado em `asymbol` e o iíndice está entre 1 e `adim`. Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares `sf`, `af`, e `av` são avaliadas. A avaliação substitui os valores de `aform[i,j]` em lugar de `fun(v[i],v[j])` onde `v` representa o valor de `asymbol` e `fun` é ainda `af` ou `sf`; ou, isso substitui `v[aform[i,j]]` em lugar de `av(v[i],v[j])`.

Desnecessário dizer, as funções `sf`, `af` e `av` podem ser redefinidas.

Quando o pacote `atensor` é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:

    dotscrules:true;
    dotdistrib:true;
    dotexptsimp:false;

Se você deseja experimentar com uma álgebra não associativa, você pode também considerar a configuração de `dotassoc` para `false`. Nesse caso, todavia, `atensimp` não stará sempre habilitado a obter as simplificações desejadas.

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