Definições para polinómios ortogonais (Manual do Maxima 5.44.0)

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### 61.2, Definições para polinómios ortogonais

Função: assoc_legendre_p (n, m, x)

  As funções de Legendre associadas de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equações 22.5.37, página 779, 8.6.6 (segunda equação), página 334, e 8.2.5, página 333.

Função: assoc_legendre_q (n, m, x)

  A função de Legendre associada de segundo tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 8.5.3 e 8.1.8.

Função: chebyshev_t (n, x)

  A função de Chebyshev de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.47,página 779.

Função: chebyshev_u (n, x)

  A função de Chebyshev do segundo tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.48,página 779.

Função: gen_laguerre (n, a, x)

  O poliômio generalizado de Laguerre.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.54,página 780.

Função: hermite (n, x)

  O polinómio de Hermite.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.55,página 780.

Função: intervalp (e)

  Retorna `true` se a entrada for um intervalo e retorna `false` se não for.

Função: jacobi_p (n, a, b, x)

  o polinómio de Jacobi.

  Os polinómios de Jacobi são actualmente definidos para todo a e b; todavia, o peso do polinómio de Jacobi `(1 - x)^a (1 + x)^b` não é integrável para `a <= -1` ou `b <= -1`.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.42,página 779.

Função: laguerre (n, x)

  O polinómio de Laguerre.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equatções 22.5.16 e 22.5.54,página 780.

Função: legendre_p (n, x)

  O polinómio de Legendre de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equações 22.5.50 e 22.5.51,página 779.

Função: legendre_q (n, x)

  O polinómio de Legendre de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equações 8.5.3 e 8.1.8.

Função: orthopoly_recur (f, args)

  Retorna uma relação recursiva para a família de funções ortogonais f com argumentos args. A recursividade é com relação ao grau do polinómio.

      (%i1) orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
                      (2 n - 1) P     (x) x + (1 - n) P     (x)
                                 n - 1                 n - 2
      (%o1)   P (x) = -----------------------------------------
               n                          n

  O segundo argumento a `orthopoly_recur` deve ser uma lista com o número correcto de argumentos para a função f; se o número de argumentos não for o correcto, Maxima sinaliza com um erro.

      (%i1) orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);

      Function jacobi_p needs 4 arguments, instead it received 2
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

  Adicionalmente, quando f não for o nome de uma das famílias de polinómios ortogonais, um erro é sinalizado.

      (%i1) orthopoly_recur (foo, [n, x]);

      A recursion relation for foo isn't known to Maxima
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Variable: orthopoly_returns_intervals

  Valor por omissão: `true`

  Quando `orthopoly_returns_intervals` for `true`, resultados em ponto flutuante são retornados na forma `interval (c, r)`, onde c é o centro de um intervalo e r é seu raio. O centro pode ser um número complexo; nesse caso, o intervalo é um disco no plano complexo.

Função: orthopoly_weight (f, args)

  Retorna uma lista de três elementos; o primeiro elemento é a fórmula do peso para a família de polinómios ortogonais f com argumentos fornecidos pela lista args; os segundos e terceiros elementos fornecem os pontos finais inferior e superior do intervalo de ortogonalidade. Por exemplo,

      (%i1) w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
                                  2
                               - x
      (%o1)                 [%e    , - inf, inf]
      (%i2) integrate (w[1] * hermite (3, x) * hermite (2, x), x, w[2], w[3]);
      (%o2)                           0

  A variável principal de f deve ser um símbolo; Se não for, Maxima sinaliza com um erro.

Função: pochhammer (n, x)

  O símbolo de Pochhammer. Para inteiros não negativos n com `n <= pochhammer_max_index`, a expressão `pochhammer (x, n)` avalia para o produto `x (x + 1) (x + 2) ... (x + n - 1)` when `n > 0` e para 1 quando `n = 0`. Para valores negativos de n, `pochhammer (x, n)` é definido como `(-1)^n / pochhammer (1 - x, -n)`. Dessa forma

      (%i1) pochhammer (x, 3);
      (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
      (%i2) pochhammer (x, -3);
                                       1
      (%o2)               - -----------------------
                            (1 - x) (2 - x) (3 - x)

  Para converter um símbolo de Pochhammer em um quociente de funções gama, (veja Abramowitz e Stegun, equação 6.1.22) use `makegamma`; por exemplo

      (%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
                                gamma(x + n)
      (%o1)                     ------------
                                  gamma(x)

  Quando n exceder `pochhammer_max_index` ou quando n for simbólico, `pochhammer` retorna uma forma substantiva.

      (%i1) pochhammer (x, n);
      (%o1)                         (x)
                                       n

Variável: pochhammer_max_index

  Valor por omissão: 100

  `pochhammer (n, x)` expande para um produto se e somente se `n <= pochhammer_max_index`.

  Exemplos:

      (%i1) pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
      (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
      (%i2) pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
      (%o2)                         (x)
                                       4

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 6.1.16,página 256.

Função: spherical_bessel_j (n, x)

  A Função de Bessel esférica de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equações 10.1.8,página 437 e 10.1.15,página 439.

Função: spherical_bessel_y (n, x)

  A Função de Bessel esférica de segundo tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equações 10.1.9,página 437 e 10.1.15,página 439.

Função: spherical_hankel1 (n, x)

  A Função de Hankel esférica de primeiro tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 10.1.36,página 439.

Função: spherical_hankel2 (n, x)

  A Função de Hankel esférica de segundo tipo.

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 10.1.17,página 439.

Função: spherical_harmonic (n, m, x, y)

  A função armônica esférica.

  Referência: Merzbacher 9.64.

Função: unit_step (x)

  A função de passo de unidade contínua à esquerda; dessa forma `unit_step (x)` tende para `x <= 0` e é igual a 1 para `x > 0`.

  Se quiser uma função de degrau unitário que tome o valor 1/2 em zero, use `(1 + signum (x))/2`.

Função: ultraspherical (n, a, x)

  A função polinômial ultraesférica (também conhecida como função polinomial de Gegenbauer).

  Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.46,página 779.

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