Einführung in die Vereinfachung (Maxima Manual)

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### 9.1 Einführung in die Vereinfachung

Nach der Auswertung einer Eingabe, die in Auswertung beschrieben ist, schließt sich die Vereinfachung eines Ausdrucks an. Mathematische Funktionen mit denen symbolisch gerechnet werden kann, werden nicht ausgewertet, sondern vereinfacht. Mathematische Funktionen werden intern von Maxima in einer Substantivform dargestellt. Auch Ausdrücke mit den arithmetischen Operatoren werden vereinfacht. Numerische Rechnungen wie die Addition oder Multiplikation sind daher keine Auswertung, sondern eine Vereinfachung. Die Auswertung eines Ausdrucks kann mit dem `Quote-Operator` `'` unterdrückt werden. Entsprechend kann die Vereinfachung eines Ausdrucks mit der Optionsvariablen `simp` kontrolliert werden.

Beispiele:

Im ersten Beispiel wird die Auswertung mit dem Quote-Operator unterdrückt. Das Ergebnis ist eine Substantivform für die Ableitung. Im zweiten Beispiel ist die Vereinfachung unterdrückt. Die Ableitung wird ausgeführt, da es sich um eine Auswertung handelt. Das Ergebnis wird jedoch nicht zu `2*x` vereinfacht.

    (%i1) 'diff(x*x,x);
                                 d    2
    (%o1)                        -- (x )
                                 dx
    (%i2) simp:false;
    (%o2)                         false
    (%i3) diff(x*x,x);
    (%o3)                       1 x + 1 x

Für jede mathematischen Funktion oder Operator hat Maxima intern eine eigene Routine, die für die Vereinfachung aufgerufen wird, sobald die Funktion oder der Operator in einem Ausdruck auftritt. Diese Routinen implementieren Symmetrieeigenschaften, spezielle Funktionswerte oder andere Eigenschaften und Regeln. Mit einer Vielzahl von Optionsvariablen kann Einfluss auf die Vereinfachung der Funktionen und Operatoren genommen werden.

Beispiel:

Die Vereinfachung der Exponentialfunktion `exp` wird von den folgenden Optionsvariablen kontrolliert: `%enumer`, `%emode`, `%e_to_numlog`, `radexpand`, `logsimp`, und `demoivre`. Im ersten Beispiel wird der Ausdruck mit der Exponentialfunktion nicht vereinfacht. Im zweiten Beispiel vereinfacht Maxima ein Argument `%i*%pi/2`.

    (%i1) exp(x+%i*%pi/2), %emode:false;
                                    %i %pi
                                x + ------
                                      2
    (%o1)                     %e
    (%i2) exp(x+%i*%pi/2), %emode:true;
                                      x
    (%o2)                        %i %e

Zusätzlich zu der Vereinfachung von einzelnen mathematischen Funktionen und Operatoren, die automatisch von Maxima ausgeführt werden, kennt Maxima Funktionen wie `expand` oder `radcan`, die auf Ausdrücke angewendet werden, um spezielle Vereinfachungen vorzunehmen.

Beispiel:

    (%i1) (log(x+x^2)-log(x))^a/log(1+x)^(a/2);
                               2               a
                         (log(x  + x) - log(x))
    (%o1)                -----------------------
                                        a/2
                              log(x + 1)
    (%i2) radcan(%);
                                        a/2
    (%o2)                     log(x + 1)

Einem Operator oder einer Funktion können Eigenschaften wie linear oder symmetrisch gegeben werden. Maxima berücksichtigt diese Eigenschaften bei der Vereinfachung eines Ausdrucks. Zum Beispiel wird mit dem Kommando `declare(f, oddfun)` eine Funktion als ungerade definiert. Maxima vereinfacht dann jedes Auftreten eines Ausdrucks `f(-x)` zu `-f(x)`. Entsprechend vereinfacht Maxima `f(-x)` zu `f(x)`, wenn die Funktion als gerade definiert wurde.

Die folgenden Eigenschaften sind in der Liste `opproperties` enthalten und kontrollieren die Vereinfachung von Funktionen und Operatoren:

       additive        lassociative     oddfun
       antisymmetric   linear           outative
       commutative     multiplicative   rassociative
       evenfun         nary             symmetric

Darüber hinaus haben auch die Fakten und die Eigenschaften des aktuellen Kontextes Einfluss auf die Vereinfachung von Ausdrücken. Siehe dazu die Ausführungen in Maximas Datenbank.

Beispiel:

Die Sinusfunktion vereinfacht für ein ganzzahliges Vielfaches von `%pi` zum Wert `0`. Erhält das Symbol `n` die Eigenschaft `integer`, wird die Sinusfunktion entsprechend vereinfacht.

    (%i1) sin(n*%pi);
    (%o1)                      sin(%pi n)
    (%i2) declare(n, integer);
    (%o2)                         done
    (%i3) sin(n*%pi);
    (%o3)                           0

Führen alle oben genannten Möglichkeiten nicht zu dem gewünschten Ergebnis, kann der Nutzer Maxima um weitere Regeln für die Vereinfachung erweitern. Diese Möglichkeiten werden in Muster und Regeln erläutert.

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