Funktionen und Variablen für Funktionsdefinitionen (Maxima Manual)

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### 25.3 Funktionen und Variablen für Funktionsdefinitionen

Funktion: apply (F, [x_1, …, x_n])

  Konstruiert den Ausdruck `F(arg_1, ..., arg_n)` und wertet diesen aus.

  `apply` versucht nicht Array-Funktionen von gewöhnlichen Funktionen zu unterscheiden. Ist F der Name eine Array-Funktion, wertet `apply` den Ausdruck `F(...)` aus. `arrayapply` entspricht der Funktion `apply`, wenn F eine Array-Funktion ist.

  Beispiele:

  `apply` wertet die Argumente aus. In diesem Beispiel wird die Funktion `min` auf die Liste `L` angewendet.

      (%i1) L : [1, 5, -10.2, 4, 3];
      (%o1)                 [1, 5, - 10.2, 4, 3]
      (%i2) apply (min, L);
      (%o2)                        - 10.2

  `apply` wertet die Argumente auch dann aus, wenn die Funktion `F` die Auswertung ihrer Argumente unterdrückt.

      (%i1) F (x) := x / 1729;

                                         x
      (%o1)                     F(x) := ----
                                        1729

      (%i2) fname : F;
      (%o2)                           F
      (%i3) dispfun (F);
                                         x
      (%t3)                     F(x) := ----
                                        1729

      (%o3)                         [%t3]
      (%i4) dispfun (fname);
      fname is not the name of a user function.
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
      (%i5) apply (dispfun, [fname]);
                                         x
      (%t5)                     F(x) := ----
                                        1729

      (%o5)                         [%t5]

  `apply` wertet den Namen der Funktion F aus. Mit dem Quote-Operator `'` wird die Auswertung unterdrückt. `demoivre` ist der Name einer globalen Optionsvariable und einer Funktion.

      (%i1) demoivre;
      (%o1)                         false
      (%i2) demoivre (exp (%i * x));
      (%o2)                  %i sin(x) + cos(x)
      (%i3) apply (demoivre, [exp (%i * x)]);
      demoivre evaluates to false
      Improper name or value in functional position.
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
      (%i4) apply ('demoivre, [exp (%i * x)]);
      (%o4)                  %i sin(x) + cos(x)

Funktion: define (f(x_1, …, x_n), expr)
Funktion: define (f[x_1, …, x_n], expr)
Funktion: define (funmake (f, [x_1, …, x_n]), expr)
Funktion: define (arraymake (f, [x_1, …, x_n]), expr)
Funktion: define (ev (expr_1), expr_2)

  Definiert eine Funktion mit dem Namen f und den Argumenten x1, …, x_n und der Funktionsdefinition expr. `define` wertet das zweite Argument immer aus.

  Ist das letzte oder einzige Argument x_n eine Liste mit einem Element, dann akzeptiert die Funktion eine variable Anzahl an Argumenten. Die Argumente der Funktion werden nacheinander den Variablen x_1, …, x_(n-1) zugewiesen. Sind weitere Argumente vorhanden, werden diese als Liste der Variablen x_n zugewiesen.

  Ist das erste Argument der Funktion `define` ein Ausdruck der Form `f(x_1, ..., x_n)` oder `f[x_1, ..., x_n]` werden die Argumente der Funktion ausgewertet, aber nicht die Funktion f selbst. f wird auch dann nicht ausgewertet, wenn es bereits eine Funktion mit dem Namen f gibt.

  Das erste Argument wird dann ausgewertet, wenn es ein Ausdruck mit den Funktionen `funmake`, `arraymake` oder `ev` ist.

  Alle Funktionsdefinitionen treten in demselben Namensraum auf. Die Definition einer Funktion `g` innerhalb einer Funktion `f` führt nicht automatisch zu einer lokalen Definition. Um eine lokale Funktion zu erhalten, kann `lokal(g)` innerhalb der Funktion `f` ausgeführt werden. Siehe auch `local`.

  Ist eines der Argumente x_k nach der Auswertung ein quotiertes Symbol, wertet die mit `define` definierte Funktion das Argument nicht aus. Alle weiteren Argumente der Funktion werden ausgewertet.

  Siehe auch `:=` und `::=`.

  Beispiele:

  `define` wertet das zweite Argument aus.

      (%i1) expr : cos(y) - sin(x);
      (%o1)                    cos(y) - sin(x)
      (%i2) define (F1 (x, y), expr);
      (%o2)              F1(x, y) := cos(y) - sin(x)
      (%i3) F1 (a, b);
      (%o3)                    cos(b) - sin(a)
      (%i4) F2 (x, y) := expr;
      (%o4)                   F2(x, y) := expr
      (%i5) F2 (a, b);
      (%o5)                    cos(y) - sin(x)

  Mit `define` können gewöhnliche Maxima-Funktionen und Array-Funktionen definiert werden.

      (%i1) define (G1 (x, y), x.y - y.x);
      (%o1)               G1(x, y) := x . y - y . x
      (%i2) define (G2 [x, y], x.y - y.x);
      (%o2)                G2     := x . y - y . x
                             x, y

  Ist das letzte oder einzige Argument x_n eine Liste mit einem Element, akzeptiert die mit `define` definierte Funktion eine variable Anzahl an Argumenten.

      (%i1) define (H ([L]), '(apply ("+", L)));
      (%o1)                H([L]) := apply("+", L)
      (%i2) H (a, b, c);
      (%o2)                       c + b + a

  Ist das erste Argument ein Ausdruck mit den Funktionen `funmake`, `arraymake` oder `ev` wird das Argument ausgewertet.

      (%i1) [F : I, u : x];
      (%o1)                        [I, x]
      (%i2) funmake (F, [u]);
      (%o2)                         I(x)
      (%i3) define (funmake (F, [u]), cos(u) + 1);
      (%o3)                  I(x) := cos(x) + 1
      (%i4) define (arraymake (F, [u]), cos(u) + 1);
      (%o4)                   I  := cos(x) + 1
                               x
      (%i5) define (foo (x, y), bar (y, x));
      (%o5)                foo(x, y) := bar(y, x)
      (%i6) define (ev (foo (x, y)), sin(x) - cos(y));
      (%o6)             bar(y, x) := sin(x) - cos(y)

Funktion: define_variable (name, default_value, mode)

  Definiert eine globale Variable in der Maxima-Umgebung. `define_variable` ist nützlich für das Schreiben von Paketen, die häufig übersetzt oder kompiliert werden. `define_variable` führt die folgenden Schritte aus:

  1. `mode_declare(name, mode)` deklariert den Typ der Variablen name für den Übersetzer. Siehe `mode_declare` für eine Liste der möglichen Typen.
  2. Hat die Variable keinen Wert, wird der Variablen der Wert default_value zugewiesen.
  3. `declare(name, special)` deklariert die Variable als Special.
  4. Ordnet der Variablen name eine Testfunktion zu, um sicherzustellen, dass der Variablen nur Werte zugewiesen werden können.

  Einer mit `define_variable` definierten Variablen, die einen anderen Typ als `any` erhalten hat, kann die Eigenschaft `value_check` zugewiesen werden. Die `value_check`-Eigenschaft ist eine Aussagefunktion mit einer Variablen oder ein Lambda-Ausdruck, die aufgerufen werden, wenn der Variablen ein Wert zugewiesen werden soll. Das Argument der `value_check`-Funktion ist der Wert, den die Variable erhalten soll.

  `define_variable` wertet `default_value` aus. Die Argumente `name` und `mode` werden nicht ausgewertet. `define_variable` gibt den aktuellen Wert der Variable `name` zurück. Dieser ist `default_value`, wenn der Variablen bisher kein Wert zugewiesen wurde.

  Beispiele:

  `foo` ist eine boolesche Variable mit dem Wert `true`.

      (%i1) define_variable (foo, true, boolean);
      (%o1)                         true
      (%i2) foo;
      (%o2)                         true
      (%i3) foo: false;
      (%o3)                         false
      (%i4) foo: %pi;
      Error: foo was declared mode boolean, has value: %pi
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
      (%i5) foo;
      (%o5)                         false

  `bar` ist eine Variable mit dem Typ einer ganzen Zahl, die eine Primzahl sein muss.

      (%i1) define_variable (bar, 2, integer);
      (%o1)                           2
      (%i2) qput (bar, prime_test, value_check);
      (%o2)                      prime_test
      (%i3) prime_test (y) := if not primep(y) then
                                 error (y, "is not prime.");
      (%o3) prime_test(y) := if not primep(y)

                                         then error(y, "is not prime.")
      (%i4) bar: 1439;
      (%o4)                         1439
      (%i5) bar: 1440;
      1440 is not prime.
      #0: prime_test(y=1440)
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
      (%i6) bar;
      (%o6)                         1439

  `baz_quux` ist eine Variable, der kein Wert zugewiesen werden kann. Der Typ `any_check` ist vergleichbar mit `any`. Aber `any_check` ruft im Gegensatz zu `any` den `value_check`-Mechanismus auf.

      (%i1) define_variable (baz_quux, 'baz_quux, any_check);
      (%o1)                       baz_quux
      (%i2) F: lambda ([y], if y # 'baz_quux then
                       error ("Cannot assign to `baz_quux'."));
      (%o2) lambda([y], if y # 'baz_quux

                              then error(Cannot assign to `baz_quux'.))
      (%i3) qput (baz_quux, ''F, value_check);
      (%o3) lambda([y], if y # 'baz_quux

                              then error(Cannot assign to `baz_quux'.))
      (%i4) baz_quux: 'baz_quux;
      (%o4)                       baz_quux
      (%i5) baz_quux: sqrt(2);
      Cannot assign to `baz_quux'.
      #0: lambda([y],if y # 'baz_quux then
                       error("Cannot assign to `baz_quux'."))(y=sqrt(2))
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
      (%i6) baz_quux;
      (%o6)                       baz_quux

Funktion: dispfun (f_1, …, f_n)
Funktion: dispfun (all)

  Zeigt die Definitionen der nutzerdefinierten Funktionen f_1, …, f_n an. Die Argumente können gewöhnliche Funktionen, Makros, Array-Funktionen oder indizierte Funktionen sein.

  `dispfun(all)` zeigt die Definitionen aller nutzerdefinierten Funktionen an, die in den Informationslisten `functions`, `arrays` oder `macros` enthalten sind.

  `dispfun` erzeugt Zwischenmarken `%t` für jede einzelne anzuzeigende Funktion und weist die Funktionsdefinitionen den Zwischenmarken zu. Im Gegensatz dazu, zeigt die Funktion `fundef` die Funktionsdefinition ohne Zwischenmarken an.

  `dispfun` wertet die Argumente nicht aus. `dispfun` gibt eine Liste mit den Zwischenmarken zurück, die zu den angezeigten Funktionen gehören.

  Beispiele:

      (%i1) m(x, y) ::= x^(-y);
                                           - y
      (%o1)                   m(x, y) ::= x
      (%i2) f(x, y) :=  x^(-y);
                                           - y
      (%o2)                    f(x, y) := x
      (%i3) g[x, y] :=  x^(-y);
                                          - y
      (%o3)                     g     := x
                                 x, y
      (%i4) h[x](y) :=  x^(-y);
                                          - y
      (%o4)                     h (y) := x
                                 x
      (%i5) i[8](y) :=  8^(-y);
                                          - y
      (%o5)                     i (y) := 8
                                 8
      (%i6) dispfun (m, f, g, h, h[5], h[10], i[8]);
                                           - y
      (%t6)                   m(x, y) ::= x

                                           - y
      (%t7)                    f(x, y) := x

                                          - y
      (%t8)                     g     := x
                                 x, y

                                          - y
      (%t9)                     h (y) := x
                                 x

                                          1
      (%t10)                     h (y) := --
                                  5        y
                                          5

                                           1
      (%t11)                    h  (y) := ---
                                 10         y
                                          10

                                          - y
      (%t12)                    i (y) := 8
                                 8

      (%o12)       [%t6, %t7, %t8, %t9, %t10, %t11, %t12]
      (%i12) ''%;

                           - y              - y            - y
      (%o12) [m(x, y) ::= x   , f(x, y) := x   , g     := x   ,
                                                  x, y
                        - y           1              1             - y
              h (y) := x   , h (y) := --, h  (y) := ---, i (y) := 8   ]
               x              5        y   10         y   8
                                      5             10

Funktion: fullmap (f, expr_1, …)

  Die Funktion `fullmap` ist vergleichbar mit der Funktion `map`. Im Unterschied zu der Funktion `map` kann `fullmap` auf verschachtelte Ausdrücke angewendet werden.

  Intern wird `fullmap` von Maxima für die Vereinfachung von Matrizen aufgerufen. Daher können bei der Vereinfachung von Matrizen Fehlermeldungen im Zusammenhang mit `fullmap` auftreten, ohne dass die Funktion direkt aufgerufen wurde.

  Beispiele:

      (%i1) a + b * c;
      (%o1)                        b c + a
      (%i2) fullmap (g, %);
      (%o2)                   g(b) g(c) + g(a)
      (%i3) map (g, %th(2));
      (%o3)                     g(b c) + g(a)

Funktion: fullmapl (f, list_1, …)

  Die Funktion `fullmapl` ist vergleichbar mit `fullmap`. `fullmapl` kann jedoch nur auf Matrizen und Listen angewendet werden kann.

  Beispiele:

      (%i1) fullmapl ("+", [3, [4, 5]], [[a, 1], [0, -1.5]]);
      (%o1)                [[a + 3, 4], [4, 3.5]]

Systemvariable: functions

  Standardwert: `[]`

  `functions` ist eine Informationsliste, die die vom Nutzer mit dem Operator `:=` oder der Funktion `define` definierten Funktionen enthält. Siehe auch die Systemvariable `infolists`.

  Array-Funktionen und indizierte Funktionen werden nicht in die Informationsliste `functions`, sondern in die Informationsliste `arrays` eingetragen.

  Beispiele:

      (%i1) F_1 (x) := x - 100;
      (%o1)                   F_1(x) := x - 100
      (%i2) F_2 (x, y) := x / y;
                                            x
      (%o2)                    F_2(x, y) := -
                                            y
      (%i3) define (F_3 (x), sqrt (x));
      (%o3)                   F_3(x) := sqrt(x)
      (%i4) G_1 [x] := x - 100;
      (%o4)                    G_1  := x - 100
                                  x
      (%i5) G_2 [x, y] := x / y;
                                           x
      (%o5)                     G_2     := -
                                   x, y    y
      (%i6) define (G_3 [x], sqrt (x));
      (%o6)                    G_3  := sqrt(x)
                                  x
      (%i7) H_1 [x] (y) := x^y;
                                            y
      (%o7)                     H_1 (y) := x
                                   x
      (%i8) functions;
      (%o8)              [F_1(x), F_2(x, y), F_3(x)]
      (%i9) arrays;
      (%o9)                 [G_1, G_2, G_3, H_1]

Funktion: fundef (f)

  Gibt die Definition der Funktion f zurück.

  Das Argument f kann eine gewöhnliche Funktion, eine Makro-Funktion, eine Array-Funktion oder eine indizierte Funktion sein.

  `fundef` wertet das Argument aus. Siehe auch `dispfun`.

Funktion: funmake (F, [arg_1, …, arg_n])

  Gibt den Ausdruck `F(arg_1, ..., arg_n)` zurück. Die Rückgabe wird vereinfacht, aber nicht ausgewertet. Die Funktion F wird also nicht aufgerufen, auch wenn diese existiert.

  `funmake` versucht nicht, Array-Funktionen von gewöhnlichen Funktionen zu unterscheiden. Ist F der Name einer Array-Funktion, dann gibt `funmake` einen Ausdruck der Form `F(...)` zurück. Für Array-Funktionen kann die Funktion `arraymake` verwendet werden.

  `funmake` wertet die Argumente aus.

  Beispiele:

  `funmake` angewendet auf eine gewöhnliche Funktion.

      (%i1) F (x, y) := y^2 - x^2;
                                         2    2
      (%o1)                  F(x, y) := y  - x
      (%i2) funmake (F, [a + 1, b + 1]);
      (%o2)                    F(a + 1, b + 1)
      (%i3) ''%;
                                    2          2
      (%o3)                  (b + 1)  - (a + 1)

  `funmake` angewendet auf ein Makro.

      (%i1) G (x) ::= (x - 1)/2;
                                        x - 1
      (%o1)                    G(x) ::= -----
                                          2
      (%i2) funmake (G, [u]);
      (%o2)                         G(u)
      (%i3) ''%;
                                    u - 1
      (%o3)                         -----
                                      2

  `funmake` angewendet auf eine indizierte Funktion.

      (%i1) H [a] (x) := (x - 1)^a;
                                              a
      (%o1)                   H (x) := (x - 1)
                               a
      (%i2) funmake (H [n], [%e]);
                                             n
      (%o2)               lambda([x], (x - 1) )(%e)
      (%i3) ''%;
                                          n
      (%o3)                       (%e - 1)
      (%i4) funmake ('(H [n]), [%e]);
      (%o4)                        H (%e)
                                    n
      (%i5) ''%;
                                          n
      (%o5)                       (%e - 1)

  `funmake` angewendet auf ein Symbol, welches keine Funktion repräsentiert.

      (%i1) funmake (A, [u]);
      (%o1)                         A(u)
      (%i2) ''%;
      (%o2)                         A(u)

  `funmake` wertet die Argumente, aber nicht die Rückgabe aus.

      (%i1) det(a,b,c) := b^2 -4*a*c;
                                          2
      (%o1)              det(a, b, c) := b  - 4 a c
      (%i2) (x : 8, y : 10, z : 12);
      (%o2)                          12
      (%i3) f : det;
      (%o3)                          det
      (%i4) funmake (f, [x, y, z]);
      (%o4)                    det(8, 10, 12)
      (%i5) ''%;
      (%o5)                         - 284

  Maxima vereinfacht den Rückgabewert der Funktion `funmake`.

      (%i1) funmake (sin, [%pi / 2]);
      (%o1)                           1

Funktion: lambda ([x_1, …, x_m], expr_1, …, expr_n)
Funktion: lambda ([[L]], expr_1, …, expr_n)
Funktion: lambda ([x_1, …, x_m, [L]], expr_1, …, expr_n)

  Definiert einen Lambda-Ausdruck, der auch als anonyme Funktion bezeichnet wird, und gibt diesen zurück. Die Funktion kann Argumente x_1, …, x_m und optionale Argumente L haben. Die Rückgabe der Funktion ist das Ergebnis des Ausdrucks exprn. Ein Lambda-Ausdruck kann einer Variablen zugewiesen werden und wertet wie eine gewöhnliche Funktion aus. Ein Lambda-Ausdruck kann an solchen Stellen verwendet werden, wo der Name einer Funktion erwartet wird.

  Wird der Lambda-Ausdruck ausgewertet, werden lokale Variablen x_1, …, x_m erzeugt. `lambda` kann innerhalb von Blöcken oder anderen Lambda-Ausdrücken verwendet werden. Mit jeder `block`-Anweisung oder jedem Lambda-Ausdruck werden erneut lokale Variablen erzeugt. Die lokalen Variablen sind jeweils global zu jeder eingeschlossenen `block`-Anweisung oder zu jedem eingeschlossenen Lambda-Ausdruck. Ist eine Variable innerhalb von `block` oder `lambda` nicht lokal, hat sie den Wert der nächst höheren Anweisung, die ihr einen Wert gibt oder den globalen Wert der Maxima-Umgebung.

  Nachdem die lokalen Variablen erzeugt sind, werden die Ausdrücke expr_1, …, expr_n nacheinander ausgewertet. Die Systemvariable `%%`, welche das Ergebnis eines vorhergehendes Ausdrucks enthält, kann verwendet werden. In einem Lambda-Ausdruck können die Anweisungen `catch` und `throw` verwendet werden.

  Die `return`-Anweisung kann in einem Lambda-Ausdruck nur verwendet werden, wenn sie von einer `block`-Anweisung eingeschlossen wird. Die `return`-Anweisung definiert jedoch den Rückgabewert des Blocks und nicht des Lambda-Ausdrucks. Auch die `go`-Anweisung kann in einem Lambda-Ausdrucks nur in einem Block verwendet werden.

  `lambda` wertet die Argumente nicht aus.

  Beispiele:

  Ein Lambda-Ausdruck kann einer Variablen zugewiesen werden und wie eine gewöhnliche Funktion ausgewertet werden.

      (%i1) f: lambda ([x], x^2);
                                            2
      (%o1)                    lambda([x], x )
      (%i2) f(a);
                                      2
      (%o2)                          a

  Ein Lamda-Ausdruck kann an Stellen verwendet werden, wo der Name einer Funktion erwartet wird.

      (%i3) lambda ([x], x^2) (a);
                                      2
      (%o3)                          a
      (%i4) apply (lambda ([x], x^2), [a]);
                                      2
      (%o4)                          a
      (%i5) map (lambda ([x], x^2), [a, b, c, d, e]);
                              2   2   2   2   2
      (%o5)                 [a , b , c , d , e ]

  Die Argumente sind lokale Variablen. Andere Variablen sind globale Variablen. Globale Variablen werden zu dem Zeitpunkt ausgewertet, wenn der Lambda-Ausdruck ausgewertet wird.

      (%i6) a: %pi$
      (%i7) b: %e$
      (%i8) g: lambda ([a], a*b);
      (%o8)                   lambda([a], a b)
      (%i9) b: %gamma$
      (%i10) g(1/2);
                                   %gamma
      (%o10)                       ------
                                     2
      (%i11) g2: lambda ([a], a*''b);
      (%o11)                lambda([a], a %gamma)
      (%i12) b: %e$
      (%i13) g2(1/2);
                                   %gamma
      (%o13)                       ------
                                     2

  Lambda-Ausdrücke können verschachtelt werden. Lokale Variablen eines äußeren Lambda-Ausdrucks sind global zu den enthaltenen Lambda-Ausdrücken, außer diese werden wieder als lokal erklärt.

      (%i14) h: lambda ([a, b], h2: lambda ([a], a*b), h2(1/2));
                                                         1
      (%o14)    lambda([a, b], h2 : lambda([a], a b), h2(-))
                                                         2
      (%i15) h(%pi, %gamma);
                                   %gamma
      (%o15)                       ------
                                     2

  Da `lambda` die Argumente nicht auswertet, definiert der unten angegebene Ausdruck `i` keine Funktion "multipliziere mit `a`". Solch eine Funktion kann mit Hilfe der Funktion `buildq` definiert werden.

      (%i16) i: lambda ([a], lambda ([x], a*x));
      (%o16)            lambda([a], lambda([x], a x))
      (%i17) i(1/2);
      (%o17)                  lambda([x], a x)
      (%i18) i2: lambda([a], buildq([a: a], lambda([x], a*x)));
      (%o18)    lambda([a], buildq([a : a], lambda([x], a x)))
      (%i19) i2(1/2);
                                           x
      (%o19)                   lambda([x], -)
                                           2
      (%i20) i2(1/2)(%pi);
                                     %pi
      (%o20)                         ---
                                      2

  Ein Lambda-Ausdruck kann eine variable Anzahl an Argumenten haben, wenn das letzte Argument eine Liste mit einem Element ist.

      (%i1) f : lambda ([aa, bb, [cc]], aa * cc + bb);
      (%o1)          lambda([aa, bb, [cc]], aa cc + bb)
      (%i2) f (foo, %i, 17, 29, 256);
      (%o2)       [17 foo + %i, 29 foo + %i, 256 foo + %i]
      (%i3) g : lambda ([[aa]], apply ("+", aa));
      (%o3)             lambda([[aa]], apply(+, aa))
      (%i4) g (17, 29, x, y, z, %e);
      (%o4)                  z + y + x + %e + 46

Funktion: map (f, expr_1, …, expr_n)

  Gibt einen Ausdruck zurück, dessen Hauptoperator derselbe ist, wie der der Argumente expr_1, …, expr_n aber dessen Operanden das Ergebnis der Anwendung des Operators f auf die Teilausdrücke des Ausdrucks sind. f ist entweder der Name einer Funktion mit n Argumenten oder ein Lambda-Ausdruck mit n Argumenten.

  Hat `maperror` den Wert `false`, wird die Anwendung der Funktion f gestoppt, (1) wenn die Anwendung auf den kürzesten Ausdruck expr_i beendet ist und die Ausdrücke nicht alle dieselbe Länge haben oder (2) wenn die Ausdrücke expr_i einen verschiedenen Typ haben. Hat `maperror` den Wert `true` wird in den obigen Fällen eine Fehlermeldung ausgegeben.

  Beispiele:

      (%i1) map(f,x+a*y+b*z);
      (%o1)                        f(b z) + f(a y) + f(x)
      (%i2) map(lambda([u],partfrac(u,x)),x+1/(x^3+4*x^2+5*x+2));
                                 1       1        1
      (%o2)                     ----- - ----- + -------- + x
                               x + 2   x + 1          2
                                               (x + 1)
      (%i3) map(ratsimp, x/(x^2+x)+(y^2+y)/y);
                                            1
      (%o3)                            y + ----- + 1
                                          x + 1
      (%i4) map("=",[a,b],[-0.5,3]);
      (%o4)                          [a = - 0.5, b = 3]

Funktion: mapatom (expr)

  Gibt den Wert `true` zurück, wenn der Ausdruck expr von Funktionen die auf Argumente angewendete werden, als ein Atom betrachtet wird. Als Atome werden Zahlen, einschließlich rationaler Zahlen und großer Gleitkommazahlen, Symbole und indizierte Symbole betrachtet.

Optionsvariable: maperror

  Standardwert: `true`

  Hat `maperror` den Wert `false`, wird die Anwendung der Funktion f gestoppt, (1) wenn die Anwendung auf den kürzesten Ausdruck expr_i beendet ist und die Ausdrücke nicht alle dieselbe Länge haben oder (2) wenn die Ausdrücke expr_i einen verschiedenen Typ haben. Hat `maperror` den Wert `true` wird in den obigen Fällen eine Fehlermeldung ausgegeben.

Optionsvariable: mapprint

  Standardwert: `true`

  Hat `mapprint` den Wert `true`, werden verschiedene Informationen von den Funktionen `map`, `maplist` und `fullmap` ausgegeben. Dies ist der Fall, wenn die Funktion `map` die Funktion `apply` aufruft oder wenn für die Funktion `map` die Argumente eine verschiedene Länge haben.

  Hat `mapprint` den Wert `false`, werden diese Meldungen unterdrückt.

Funktion: maplist (f, expr_1, …, expr_n)

  Wendet die Funktion f auf die Ausdrücke expr_1, …, expr_n an und gibt das Ergebnis als eine Liste zurück. f ist der Name einer Funktion oder ein lambda-Ausdruck.

  Im Unterschied zu `maplist` gibt die Funktion `map` einen Ausdruck zurück, der denselben Hauptoperator wie die Ausdrücke expr_i hat.

Funktion: outermap (f, a_1, …, a_n)

  Wendet die Funktion f auf jedes Element des äußeren Produktes der Argumente a_1 `x` a_2 `x` … `x` a_n an.

  f ist der Name einer Funktion mit n Argumenten oder ein Lambda-Ausdruck mit n Argumenten. Jedes Argument a_k kann eine Liste oder verschachtelte Liste, eine Matrix oder irgendein anderer Ausdruck sein.

  `outermap` wertet die Argumente aus.

  Siehe auch `map`, `maplist` und `apply`.

  Beispiele:

  Einfaches Beispiel für `outermap`. Die Funktion `F` ist undefiniert.

      (%i1) outermap(F, [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o1) [[F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3)], [F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3)],
                                           [F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)]]
      (%i2) outermap(F, matrix([a, b],[c, d]), matrix([1, 2],[3, 4]));
               [ [ F(a, 1)  F(a, 2) ]  [ F(b, 1)  F(b, 2) ] ]
               [ [                  ]  [                  ] ]
               [ [ F(a, 3)  F(a, 4) ]  [ F(b, 3)  F(b, 4) ] ]
      (%o2)    [                                            ]
               [ [ F(c, 1)  F(c, 2) ]  [ F(d, 1)  F(d, 2) ] ]
               [ [                  ]  [                  ] ]
               [ [ F(c, 3)  F(c, 4) ]  [ F(d, 3)  F(d, 4) ] ]
      (%i3) outermap (F, [a, b], x, matrix ([1, 2], [3, 4]));
             [ F(a, x, 1)  F(a, x, 2) ]  [ F(b, x, 1)  F(b, x, 2) ]
      (%o3) [[                        ], [                        ]]
             [ F(a, x, 3)  F(a, x, 4) ]  [ F(b, x, 3)  F(b, x, 4) ]
      (%i4) outermap (F, [a, b], matrix ([1, 2]), matrix ([x], [y]));
             [ [ F(a, 1, x) ]  [ F(a, 2, x) ] ]
      (%o4) [[ [            ]  [            ] ],
             [ [ F(a, 1, y) ]  [ F(a, 2, y) ] ]
                                    [ [ F(b, 1, x) ]  [ F(b, 2, x) ] ]
                                    [ [            ]  [            ] ]]
                                    [ [ F(b, 1, y) ]  [ F(b, 2, y) ] ]
      (%i5) outermap ("+", [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o5) [[a + 1, a + 2, a + 3], [b + 1, b + 2, b + 3],
                                                 [c + 1, c + 2, c + 3]]

  Das Beispiel zeigt die Rückgabe der Funktion `outermap` detaillierter. Das erste, zweite und dritte Argument sind eine Matrix, eine Liste und eine Matrix. Der Rückgabewert ist eine Matrix. Jedes Element der Matrix ist eine Liste und jedes Element der Liste ist eine Matrix.

      (%i1) arg_1 :  matrix ([a, b], [c, d]);
                                  [ a  b ]
      (%o1)                       [      ]
                                  [ c  d ]
      (%i2) arg_2 : [11, 22];
      (%o2)                       [11, 22]
      (%i3) arg_3 : matrix ([xx, yy]);
      (%o3)                      [ xx  yy ]
      (%i4) xx_0 : outermap(lambda([x, y, z], x / y + z), arg_1,
                                                         arg_2, arg_3);
                     [  [      a        a  ]  [      a        a  ]  ]
                     [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                     [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
      (%o4)  Col 1 = [                                              ]
                     [  [      c        c  ]  [      c        c  ]  ]
                     [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                     [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
                       [  [      b        b  ]  [      b        b  ]  ]
                       [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                       [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
               Col 2 = [                                              ]
                       [  [      d        d  ]  [      d        d  ]  ]
                       [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                       [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
      (%i5) xx_1 : xx_0 [1][1];
                 [      a        a  ]  [      a        a  ]
      (%o5)     [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]]
                 [      11       11 ]  [      22       22 ]
      (%i6) xx_2 : xx_0 [1][1] [1];
                            [      a        a  ]
      (%o6)                 [ xx + --  yy + -- ]
                            [      11       11 ]
      (%i7) xx_3 : xx_0 [1][1] [1] [1][1];
                                        a
      (%o7)                        xx + --
                                        11
      (%i8) [op (arg_1), op (arg_2), op (arg_3)];
      (%o8)                  [matrix, [, matrix]
      (%i9) [op (xx_0), op (xx_1), op (xx_2)];
      (%o9)                  [matrix, [, matrix]

  `outermap` erhält die Struktur der Argumente im Ergebnis. Die Funktion `cartesian_product` erhält die Struktur der Argumente nicht.

      (%i1) outermap (F, [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o1) [[F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3)], [F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3)],
                                           [F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)]]
      (%i2) setify (flatten (%));
      (%o2) {F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3), F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3),
                                             F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)}
      (%i3) map(lambda([L], apply(F, L)),
                           cartesian_product({a, b, c}, {1, 2, 3}));
      (%o3) {F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3), F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3),
                                             F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)}
      (%i4) is (equal (%, %th (2)));
      (%o4)                         true

Funktion: remfunction (f_1, …, f_n)
Funktion: remfunction (all)

  Hebt die Bindung der Symbole f_1, …, f_n an ihre Funktionsdefinitionen auf. Die Argumente können die Namen von Funktionen sein, die mit dem Operator `:=` oder der Funktion `define` definiert wurden sowie Makro-Funktionen, die mit dem Operator `::=` definiert wurden.

  `remfunction(all)` entfernt alle Bindungen von Funktionsdefinitionen.

  `remfunction` gibt eine Liste mit den Symbolen zurück, die von ihren Funktionsdefinitionen entbunden wurden. `false` wird für die Symbole zurückgegeben, für die es keine Funktionsdefinition gibt.

  `remfunction` wertet die Argumente nicht aus.

  `remfunction` kann nicht auf Array-Funktionen und indizierte Funktionen angewendet werden. Für diese Funktionen kann `remarray` verwendet werden.

Funktion: scanmap (f, expr)
Funktion: scanmap (f, expr, bottomup)

  Wendet die Funktion f rekursiv auf alle Teilausdrücke in expr an. Dies kann zum Beispiel verwendet werden, um einen Ausdruck vollständig zu faktorisieren.

  Beispiele:

      (%i1) exp:(a^2+2*a+1)*y + x^2$
      (%i2) scanmap(factor,exp);
                                          2      2
      (%o2)                         (a + 1)  y + x

      (%i3) scanmap(factor,expand(exp));
                                 2                  2
      (%o3)                      a  y + 2 a y + y + x

  Ein weiteres Beispiel für die Anwendung einer Funktion auf alle Teilausdrücke.

      (%i4) expr : u*v^(a*x+b) + c$
      (%i5) scanmap('f, expr);
                          f(f(f(a) f(x)) + f(b))
      (%o5) f(f(f(u) f(f(v)                      )) + f(c))

  `scanmap (f, expr, bottomup)` wendet die Funktion f Bottom-up auf den Ausdruck expr an.

      scanmap(f,a*x+b) ->
         f(a*x+b) -> f(f(a*x)+f(b)) -> f(f(f(a)*f(x))+f(b))
      scanmap(f,a*x+b,bottomup) -> f(a)*f(x)+f(b)
          -> f(f(a)*f(x))+f(b) ->
           f(f(f(a)*f(x))+f(b))

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